【《算法概论》习题6.10】超级令人在意的注释！
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关闭于 2014-09-07 12:13
《算法概论》习题的6.10：数人头问题，给定 n 和 k，以及每个硬币人头（正面）朝上的概率p_1, p_2, ..., p_n，确定 n 枚独立的硬币同时落地后，恰好有 k 枚硬币朝上的概率。
O(nk)时间的算法好弄，但是下面冒出来这么个注释：事实上，除了本习题所列举的算法外，还有一个 O(n log^2 n) 时间的算法。
求教，那是什么算法？
所有回答(2)
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首先声明一下，楼主是个坏人。好久没看这种算法题了，居然还是这么理论的。
脑细胞死了不知多少，唉。关键是看不懂啥叫O(nk)，还Google了一把。
在O(NK)的算法里面，有重复计算的部分，这部分通过增加空间复杂度的方法，可以减少时间。算法是这样的，
设h(i,j)为抛出前i个硬币，出现j个正面的概率。于是有：
if j>i, then h(i,j)=0
else
h(i,j)=p_i*h(i-1,j-1)+(1-p_i)*h(i-1,j)
你仔细看看，就会发现h(2,1)被算了好多次，h(3,1), h(3,2)同样，只有h(n-1,k-1)被算的次数最少。通过增加空间保存h(i,j)，就减少了时间。
我也只看出这个来，至于是不是o(N LOG^2 n)这个已经还给老师了。
O(nk)的解用就是这个转移方程，用上记忆化时间也一样是O(nk)。
@Chielo Newctle: 错误的，你仔细想想。
比如H(100,50)这个，他假设了计算 H（49，29）是O（49*29）的时间。
但是实际上H（49，29）就不需要O（49*29）这么多的时间。他在计算H(48，28）这个的时候，别人已经算过，他只要从空间中取出来，从Dictionary数组中取出h(48,28)的时间是一个常量，在时间复杂度计算中，常量时间是可以忽略的。
这个别人是H(49,30)或者H(50,29)或者H(49,28)
@爱编程的大叔:
2 # # + + + + +
1 # + + + + + #
0 # + + + + # #
@ 0 1 2 3 4 5 6
你不能忽视之前需要计算的项，比如上述计算 h(6, 2) 的情形，“+”表示需要进行的计算。所以，如果使用DP，至少需要计算 n*k - k^2 - 1 次才可以得到结果，明显超出 O(n log^2 n) 的上界。
我猜测能达到 O(n log^2 n) 时间的算法和组合数学有关系。
-1
时间复杂度、空间复杂度
真是抱歉，问题没说清楚。时间复杂度，问题已改。
@Chielo Newctle:
看看这个吧，你会明白的：
算法时间复杂度计算：
http://wenku.baidu.com/link?url=t3xEacCEF-cJCO7oG51V6m73hPBFu9KpjPQ_r5RXgSpe92QdkbYfNLRTM3ETUot11-ySEkWRO0CAl2G_R-HjpIWXCAwKISGV60-RJe97uhm
