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不等式两边同乘arccos变号吗

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悬赏园豆:10 [已解决问题] 解决于 2024-06-21 21:08

当y<0时,
cosx≤y
能否推出
x≤arccosy

ThingX的主页 ThingX | 初学一级 | 园豆:193
提问于:2024-06-20 11:12
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要回答这个问题,我们需要分析两个方面:不等式性质和反三角函数性质。

首先,我们知道
cos

(
𝑥
)
cos(x) 是一个周期为
2
𝜋
2π 的函数,其值域在
[

1
,
1
]
[−1,1] 之间。因此,
cos

(
𝑥
)

𝑦
cos(x)≤y 这个不等式只有在
𝑦

1
y≤1 的时候才有意义。

其次,
arccos

(
𝑦
)
arccos(y) 是反余弦函数,它的定义域是
[

1
,
1
]
[−1,1],值域是
[
0
,
𝜋
]
[0,π]。反余弦函数是余弦函数在
[
0
,
𝜋
]
[0,π] 区间上的反函数。

现在考虑不等式
cos

(
𝑥
)

𝑦
cos(x)≤y 的情况。当
𝑦
<
0
y<0 时:

cos

(
𝑥
)

𝑦
<
0
cos(x)≤y<0
这意味着
𝑥
x 必须位于
(
𝜋
/
2
,
𝜋
]
(π/2,π] 或
[

𝜋
,

𝜋
/
2
)
[−π,−π/2) 区间内。
我们要确定是否可以推出
𝑥

arccos

(
𝑦
)
x≤arccos(y)。


[
0
,
𝜋
]
[0,π] 内:

对于
𝑥

[
0
,
𝜋
]
x∈[0,π],
cos

(
𝑥
)
cos(x) 在这个区间上是单调递减的。
如果
cos

(
𝑥
)

𝑦
cos(x)≤y 并且
𝑦
<
0
y<0,则
𝑥

[
𝜋
/
2
,
𝜋
]
x∈[π/2,π]。
在这个区间上,
arccos

(
𝑦
)
arccos(y) 也是单调递减的,并且如果
cos

(
𝑥
)

𝑦
cos(x)≤y,则
𝑥

arccos

(
𝑦
)
x≥arccos(y)。
因此,在这个区间内,
cos

(
𝑥
)

𝑦
cos(x)≤y 推出
𝑥

arccos

(
𝑦
)
x≥arccos(y),而不是
𝑥

arccos

(
𝑦
)
x≤arccos(y)。

(
𝜋
,
2
𝜋
]
(π,2π] 内:

对于
𝑥

(
𝜋
,
2
𝜋
]
x∈(π,2π],虽然
cos

(
𝑥
)
cos(x) 的值也可以小于 0,但
arccos

(
𝑦
)
arccos(y) 只定义在
[
0
,
𝜋
]
[0,π],因此这个区间不适用于
arccos

(
𝑦
)
arccos(y) 的讨论。
综上所述,当
𝑦
<
0
y<0 时,
cos

(
𝑥
)

𝑦
cos(x)≤y 不能推出
𝑥

arccos

(
𝑦
)
x≤arccos(y),实际上可以推出
𝑥

arccos

(
𝑦
)
x≥arccos(y) 在
[
0
,
𝜋
]
[0,π] 区间内。

所以,答案是:不能推出
𝑥

arccos

(
𝑦
)
x≤arccos(y),实际上应为
𝑥

arccos

(
𝑦
)
x≥arccos(y)。

收获园豆:10
Technologyforgood | 大侠五级 |园豆:6772 | 2024-06-20 21:35
其他回答(1)
0

看余弦的相位图. 在单调递增区间,结果成立. 单调递减区间,结果相反.另外arccosy范围在[0,PI].x如果不在这个范围,结果就是确定的,跟条件无关,要有x的范围才能有确定的结果.

www378660084 | 园豆:368 (菜鸟二级) | 2024-06-20 15:09

x属于-二分之派到二分之派

支持(0) 反对(0) ThingX | 园豆:193 (初学一级) | 2024-06-20 15:25
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