N*M(N行,M列)的矩形，内部是一个个的网格；

2*2:经过2个   3*2:经过4个 4*2:经过4个

2*3:经过4个   3*3:经过3个 4*3:经过6个

2*4:经过4个   3*4:经过6个 4*4:经过4个

2*5:经过6个   3*5:经过7个 4*5:经过8个

不多写了，可以发现：

1：如果M和N没有公约数，那么经过的正方形个数就是M+N-1

     画图比较容易发现这一点，N*M一共含有N-1横边和M-1条竖边，左上角的一个矩形是一定经过的，之后这条斜线想要进入下一个矩形，必须要经过一条内部的边(横边或者竖边)，一共经过经过N-1+M-1条内部边(因为每走一步必定经过一个边)，也就是N-1+M-1个矩形加上最左上角的一个矩形，这就是N+M-1个矩形。

2：如果M和N有公约数，那么经过的正方形个数就是M+N-(M和N的最大公约数)

    其实这一点就是这条斜线经过正方形交点的情况，有多少个正方形的交点位于这条线上？是(M和N的最大公约数)-1个点，首先把这条线稍微偏移一点来避开这些交点，那么经过的矩形是M+N-1个；但是这种偏移会在每一个交点位置上添加一个经过的矩形，可以在纸上画一下，很好理解，因为一共有(M和N的最大公约数)-1个交点，也就是多出了(M和N的最大公约数)-1个矩形。减掉这些多的矩形就可以得到实际经过的矩形数：

M+N-1-((M和N的最大公约数)-1) = M+N-(M和N的最大公约数);

其实1和2可以合并起来，经过的矩形数目是：M+N-(M和N的最大公约数)，问题转换为求M和N的最大公约数，这应该就不难了。