在三维空间中，固定$x $ 和$y $ 相当于选择了一条平行于$z $-轴的直线。这条直线的方程可以表示为$x = a $,$y = b $，其中$a $ 和$b $ 是常数。在这条直线上，$ z $ 从$z_1(a, b) $ 变化到$z_2(a, b) $。因此，$ z $ 的变化范围$z_2(a, b) - z_1(a, b) $ 就是这条直线在积分区域$V $ 内的“长度”。

如果$f(x, y, z) = 1 $，那么最内层的积分就是：
$ \int_{z_1(a, b)}^{z_2(a, b)} 1 , dz = z_2(a, b) - z_1(a, b) $
这直接给出了在$(a, b) $ 处$z $ 方向上线段的长度。

对于一般的$f(x, y, z) $，最内层积分可以看作是在这条线段上对$f $ 的累积。

三重积分可以理解为将区域$V $ 分割成许多小的“柱子”，每个柱子对应于固定的$x $ 和$y $，在$z $ 方向上的延伸。

最内层的积分就是计算每个这样的“柱子”在$z $ 方向上的贡献，即“柱高”或“线段长度”。

例子：

假设积分区域$V $ 是一个长方体，定义为：

$ 0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 1, \quad 0 \leq z \leq 1 $

三重积分为：

$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f(x, y, z) , dz, dy, dx $

最内层积分：
$ \int_{0}^{1} f(x, y, z) , dz $

对于固定的$x $ 和$y $，$ z $ 从 0 到 1，即线段的长度为 1。

如果$f(x, y, z) = 1 $，则积分值为 1，即线段长度。

中间层积分：
$ \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} f(x, y, z) , dz \right) dy $

对于固定的$x $，$ y $ 从 0 到 1，将每个$y $ 对应的线段长度（或累积值）相加。

最外层积分：
$ \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f(x, y, z) , dz, dy \right) dx $

对所有$x $ 进行积分，最终得到整个体积的积分值。

另外，

从物理意义上讲：

如果$f(x, y, z) $ 表示密度，那么三重积分表示物体的总质量。

最内层积分$\int_{z_1}^{z_2} \rho(x, y, z) , dz $ 表示在$(x, y) $ 处沿$z $ 方向的“线密度”或“线质量”。

然后对$y $ 积分得到“面密度”，最后对$x $ 积分得到总质量。

类似地，如果$f = 1 $，则三重积分就是体积，最内层积分就是“线”的长度。

从数学严格的角度来看，三重积分的展开是基于Fubini定理，该定理允许我们在一定条件下将多重积分转化为累次积分。最内层积分的“线段长度”解释对应于在固定其他变量时，对一个变量的积分。